diff --git a/rapport/Rapport_EdouardParis.tex b/rapport/Rapport_EdouardParis.tex index e7ea1cdd07fcf48fc0acda77d9a06e441cbede01..a1c6a63fed5b717f7ad32501de68cdd9b7f41c63 100644 --- a/rapport/Rapport_EdouardParis.tex +++ b/rapport/Rapport_EdouardParis.tex @@ -5,9 +5,12 @@ \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} +\usepackage{algorithm} +\usepackage{algorithmic} \title{Rapport de projet - Arithmétique entière} \author{Édouard Paris} + \date{Devoir à rendre pour le 1 Juin 2016} \begin{document} @@ -17,7 +20,30 @@ \section{Calcul de la racine carrée entière} \subsection{Question 1} L'itération de Newton correspondant à la fonction \( f: x \mapsto x^2 - a\) s'écrit: -\[ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^\prime(x_{n})} \]. -\[ x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^2 - a}{2x_{n}} \]. +\[ x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f^\prime(x_{n})} \] +\[ \iff x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^2 - a}{2x_{n}} \] +\[ \iff x_{n+1} =\frac{1}{2}(x_{n} + \frac{ a}{x_{n}}) \] + +\subsection{Question 2} +On peut en déduire l'algorithme suivant par la méthode de Newton: +\begin{algorithm} + \caption{Calcul de la racine carrée: $y = \sqrt{a}$} + \begin{algorithmic} + \REQUIRE $A = \sum_{i=0}^{2n-1}a_{i}\beta^i$ + \ENSURE $Q = \sum_{i=0}^{n-1}q_{i}\beta^i$ tels que $A \approx Q^2$ + \STATE $C \leftarrow a$ + \FOR{i allant de 1 à $\lceil log(n) \rceil $} + \STATE $C \leftarrow \frac{1}{2}( C + \frac{A}{C})$ + \ENDFOR + \STATE $Q \leftarrow C$ + \STATE $R \leftarrow A - Q^2$ + \IF{$R < 0 $} + \STATE $Q \leftarrow Q - 1$ + \ENDIF + \RETURN $Q$ + \end{algorithmic} +\end{algorithm} + +\subsection{Question 3} \end{document}