diff --git a/rapport/Rapport_EdouardParis.tex b/rapport/Rapport_EdouardParis.tex index a7b181dc144a23241eed644ca6b42cb7bea6d5a3..57271b5ccff49598015d040125ee051e477b7dc7 100644 --- a/rapport/Rapport_EdouardParis.tex +++ b/rapport/Rapport_EdouardParis.tex @@ -58,4 +58,26 @@ L'itération de Newton correspondant à la fonction \( f: x \mapsto x^k - a\) s' \[ \iff x_{n+1} = \frac{kx_{n}}{k} - \frac{x_{n}^k}{kx_{n}^{k-1}} +\frac{a}{kx_{n}^{k-1}}\] \[ \iff x_{n+1} = \frac{1}{k}( kx_{n} - x_{n} +\frac{a}{x_{n}^{k-1}})\] \[ \iff x_{n+1} = \frac{1}{k}( (k - 1)x_{n} +\frac{a}{x_{n}^{k-1}})\] +\subsection{Question 8} +On retrouve par l'itération de Newton de la question 7, une relation de récurrence proche de celle du calcul de la racine carrée entière. +Cependant k est maintenant une entrée de l'algorithme. +On peut adapter l'algorithme ainsi : +\begin{algorithm} + \caption{Calcul de la racine $k$-ième : $y = \sqrt{a}^{k}$} + \begin{algorithmic} + \REQUIRE $A = \sum_{i=0}^{2n-1}a_{i}\beta^i$ et $k$ avec $k > 0$ + \ENSURE $Q = \sum_{i=0}^{n-1}q_{i}\beta^i$ tels que $A \approx Q^2$ + \STATE $C_{1}\leftarrow a$ + \STATE $C_{2}\leftarrow a-1$ + \WHILE{$C_{2} < C_{1}$} + \STATE $C_{2} \leftarrow \frac{1}{k}( (k-1)C_{1} + \frac{A}{C_{1}^{k-1}})$ + \ENDWHILE + \STATE $Q \leftarrow C_{2}$ + \STATE $R \leftarrow A - Q^2$ + \IF{$R < 0 $} + \STATE $Q \leftarrow Q - 1$ + \ENDIF + \RETURN $Q$ + \end{algorithmic} +\end{algorithm} \end{document}