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+++ b/main.tex
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+\documentclass[12pt, oneside, a4paper, titlepage]{article}
+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage{mathtools}
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+
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+
+
+\newcommand{\ldbk}{\left[\!\left[}
+\newcommand{\rdbk}{\right]\!\right]}
+
+\newtheorem{theorem}{Théorème}[section]
+\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
+\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
+\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire}
+\newtheorem{definition}[theorem]{Définition}
+\newtheorem{example}[theorem]{Exemple}
+\newtheorem{remark}{Remarque}
+
+\title{Coefficients binomiaux et suites de Raney généralisés dans des anneaux}
+\author{Louis AUFFRET}
+\date{\today}
+
+
+
+
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+\pagebreak
+
+
+\begin{abstract}
+	L'intérêt de cet article est :
+	\begin{itemize}[label=\textbullet]
+		\item de définir le minimum de structure à ajouter à un anneau $\mathbb A$ pour pouvoir définir convenablement les coefficients binomialux $\binom{\alpha}{n}$ avec $\alpha \in \mathbb A$ et $n \in \mathbb Z$, tels que la plupart des identités usuelles sur ceux-ci soit vérifiées
+		\item de définir des suites de Fuss-Catalan et de Raney généralisées, avec pour paramètres des éléments quelconques de l'anneau et non plus des entiers naturels
+		\item d'apporter une interprétation combinatoire générique des suites de Fuss-Catalan à paramètres entiers naturels.
+	\end{itemize}
+	Toutes les démonstrations données sont purement algébriques et n'ont pas recours à de l'analyse.
+\end{abstract}
+
+\section{Notations et conventions}
+Dans toute la suite, le terme ``anneau'' sous-entend ``unitaire'', tout sous-anneau de $\mathbb A$ doit contenir $1_{\mathbb A}$ et tout morphisme d'anneaux $\mathbb A_1 \longmapsto \mathbb A_2$ doit envoyer $1_{\mathbb A_1}$ sur $1_{\mathbb A_2}$. Les termes inventés dans le cadre de cet article (tels que \underline{anneau binomial}, cf. définition plus loin) seront soulignés. Si $\mathbb A$ est un anneau commutatif, $\mathbb A[[X]]$ désigne l'anneau des séries formelles dans $\mathbb A$. Si $A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n X^n$, alors $\left[X^n\right] A$ désigne le terme devant $X^n$, c'est-à-dire $a_n$. Le terme ``inverse'' désigne un inverse au sens de la multiplication, on parlera donc de série ``réverse'' pour désigner un inverse au sens de la composition. Pour une série $\mathbb A$, on notera $A^{[-1]}$ sa série réverse : $A \circ A^{[-1]} = A^{[-1]} \circ A = X$.
+
+
+\section{\underline{Anneaux binomiaux}}
+\subsection{Introduction}
+Les coefficients binomiaux généralisés sont définis ainsi dans $\mathbb C$ :
+\begin{equation*}
+	\forall z \in \mathbb C, \;
+	\forall n \in \mathbb Z, \;
+	\binom{z}{n} \coloneqq \left\{
+		\begin{aligned}
+			&\frac{z^{\underline{n}}}{n!}
+			&\text{ si } n \geq 0 \\
+			&0
+			&\text{ sinon}
+		\end{aligned}
+	\right.
+\end{equation*}
+avec $\alpha^{\underline{n}} \coloneqq \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i\right)$ la factorielle descendante (si $n=0$, $\alpha^{\underline{n}}$ est un produit vide, donc égal à $1$).
+
+On peut alors constater que la raison pour laquelle cette définition a du sens est que $\mathbb C$ vérifie les deux propriétés suivantes :
+\begin{itemize}[label=\textbullet]
+	\item $\mathbb Z \subset \mathbb C$
+	\item $\forall n \in \mathbb N$, $n!$ possède un inverse dans $\mathbb C$
+\end{itemize}
+L'objectif de cet article est la construction et l'étude de coefficients binomiaux dans un cadre plus général, où $z$ est un élément d'un anneau vérifiant certaines propriétés.
+
+
+\subsection{Définition}
+
+\begin{definition}
+	Soit $\mathbb A$ un anneau et $\varphi$ l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ dans $\mathbb A$. Alors $\forall n \in \mathbb Z$, on note $n_{\mathbb A} \coloneqq \varphi(n) = n \cdot 1_{\mathbb A}$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Soit $\mathbb A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ un anneau non réduit à zéro. Alors s'il existe $\Phi$ un morphisme d'anneaux de $\mathbb Q$ dans $\mathbb A$, celui-ci est unique (car entièrement déterminé par $\varphi : \mathbb Z \longrightarrow \mathbb A$), et il est injectif (car $\mathbb Q$ est un corps). De même, si $\mathbb A$ possède un sous-anneau isomorphe à $\mathbb Q$, celui-ci est unique car c'est l'image de $\Phi$. Dans toute la suite, on notera pour simplifier $\mathbb Q \subset \mathbb A$.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+	Soit $\mathbb A$ un anneau. Comme chaque factorielle est un produit d'entiers non nuls, et chaque entier non nul est un quotient de factorielles ou son opposé, les assertions suivantes sont équivalentes :
+	\begin{enumerate}
+		\item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et il existe un morphisme d'anneaux de $\mathbb Q$ dans $\mathbb A$
+		\item $\mathbb A$ possède un sous-anneau isomorphe à $\mathbb Q$
+		\item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et $\forall n \in \mathbb Z^\ast$, $n_{\mathbb A}$ possède un inverse dans $\mathbb A$
+		\item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et $\forall n \in \mathbb N$, $\left(n!\right)_{\mathbb A}$ possède un inverse dans $\mathbb A$
+	\end{enumerate}
+	Toutes ces propriétés se résument donc à $\mathbb Q \subset \mathbb A$.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}[\underline{Anneau binomial}]
+	On dira qu'un anneau $\mathbb A$ est un \underline{anneau binomial} s'il est commutatif et $\mathbb Q \subset \mathbb A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Coefficients binomiaux]
+	Soit $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}. On définit alors les coefficient binomiaux généralisés ainsi :
+	\begin{equation*}
+		\forall \alpha \in \mathbb A, \;
+		\forall n \in \mathbb Z, \;
+		\binom{\alpha}{n} \coloneqq \left\{
+			\begin{aligned}
+				&\frac{\alpha^{\underline{n}}}{n!}
+				&\text{ si } n \geq 0 \\
+				&0
+				&\text{ sinon}
+			\end{aligned}
+		\right.
+	\end{equation*}
+	Notons que l'on considère ici $\mathbb Q \subset \mathbb A$, donc $\frac{1}{n!} \coloneqq \left(n!\right)_{\mathbb A}^{-1}$ et $\alpha^{\underline{n}} = \displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i\right) \coloneqq \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i_{\mathbb A}\right)$
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Il n'est pas nécessaire que $\mathbb A$ soit commutatif pour que cette définition ait du sens, mais cette propriété s'avèrera bien trop utile pour ne pas l'inclure dans la définition d'un \underline{anneau binomial}.
+\end{remark}
+
+\begin{example}
+	On considère $I$ l'identité de $\mathcal M_2 \left(\mathbb R\right)$ et $J = \begin{pmatrix}
+		0 & 1 \\
+		0 & 0
+	\end{pmatrix}$.
+	On a $J^2 = 0$, on peut montrer sans difficulté que $\mathrm{Vect}\left(I,J\right)$ est un sous-anneau commutatif de $\mathcal M_2 \left(\mathbb R\right)$ et que $\mathbb Q I = \left\{q I, q \in \mathbb Q\right\}$ est isomorphe à $\mathbb Q$. Donc $\mathrm{Vect}\left(I,J\right)$ est un anneau binomial. Notons que vu que $J^2 = 0$, un anneau binomial n'est pas nécessairement intègre.
+\end{example}
+
+
+
+\subsection{Identités et séries formelles}
+
+\begin{definition}
+	Soient $\mathbb A$ un anneau binomial et $A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n X^n \in \mathbb A[[X]]$. Comme tous les entiers non nuls sont inversibles dans $\mathbb A$, on peut définir l'intégrale en $0$ de $A$ :
+	\begin{equation*}
+		\mathrm{Int}_0 \left(A\right) \coloneqq \sum_{n \geq 1} \frac{a_{n-1}}{n} X^n
+	\end{equation*}
+	et on vérifie immédiatement l'identité $\left(\mathrm{Int}_0 \left(A\right)\right)' = A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Soit $\mathbb A$ un anneau binomial. On peut alors poser
+	\begin{align*}
+		&\exp \coloneqq \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} X^n \in \mathbb A[[X]] \\
+		&U \coloneqq \mathrm{Int}_0 \left(\left(1+X\right)^{-1}\right) \in \mathbb A[[X]]
+	\end{align*}
+	Notons que $\left(1+X\right)$ possède un inverse car son terme constant est inversible, que son inverse est $\displaystyle \sum_{n \geq 0} (-1)^n X^n$ et que $U = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} X^n$ est la série notée informellement $\ln \left(1+X\right)$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Puissances non entières de séries]
+	Soit $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}. On pose alors
+	\begin{equation*}
+		\forall \alpha \in \mathbb A, \;
+		\left(1+X\right)^\alpha \coloneqq
+		\exp \circ \left(\alpha U\right)
+	\end{equation*}
+	et pour toute série formelle $V \in \mathbb A[[X]]$ de terme constant égal à $1$, on pose
+	\begin{equation*}
+		\forall \alpha \in \mathbb A, \;
+		V^\alpha
+		\coloneqq \left(1+X\right)^\alpha \circ \left(V-1\right)
+		= \exp \circ \left(\alpha U\right) \circ \left(V-1\right)
+	\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+	Cette notation étend (sans ambiguité de notation) les puissances entières de $\left(1+X\right)$ et de $V$, et
+	\begin{equation*}
+		\forall \alpha \in \mathbb A, \;
+		\left(1+X\right)^\alpha = \sum_{n \geq 0} \binom{\alpha}{n} X^n
+		\text{ et }
+		V^\alpha = \sum_{n \geq 0} \binom{\alpha}{n} \left(V-1\right)^n
+	\end{equation*}
+\end{proposition}
+
+\begin{theorem}[Identités des puissances non entières]
+	Soient $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}, $V, W \in \mathbb A[[X]]$ de termes constants égaux à $1$, $\alpha, \beta \in \mathbb A$. On a alors :
+	\begin{enumerate}
+		\item $V^\alpha V^\beta = V^{\alpha+\beta}$
+		\item $\left(V^\alpha\right)^\beta = V^{\alpha \beta}$
+		\item $V^\alpha W^\alpha = \left(V W\right)^\alpha$
+		\item $\left(V^\alpha\right)' = \alpha V' V^{\alpha-1}$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Formule de réversion de Lagrange-Bürmann]
+	
+\end{theorem}
+
+
+\section{Suites de Raney généralisées}
+\subsection{Définitions}
+Avant d'introduire les suites de Raney (2 paramètres), il est pertinent d'introduire les suites de Fuss-Catalan (1 paramètre).
+\begin{definition}[Suites de Fuss-Catalan]
+	Soit $p \in \mathbb N$. La suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$ est la suite d'entiers naturels définie par récurrence ainsi :
+	\begin{equation*}
+		\left\{
+			\begin{aligned}
+				&C^{(p)}_0 = 1 \\
+				&\forall n \in \mathbb N, \;
+				C^{(p)}_{n+1} = \sum_{
+					\begin{smallmatrix}
+						(i_1, \ldots, i_p) \in \mathbb N^p \\
+						i_1+\ldots+i_p = n
+					\end{smallmatrix}
+				} \prod_{j=1}^{p} C^{(p)}_{i_j}
+			\end{aligned}
+		\right.
+	\end{equation*}
+	ou de manière équivalente, on peut définir $F_p = \displaystyle \sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n$ comme l'unique solution de l'équation
+	\begin{equation*}
+		X F_p^p = F_p - 1
+	\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	L'objectif est de définir des suites de Fuss-Catalan de paramètre $p \in \mathbb A$ avec $\mathbb A$ un anneau binomial, en utilisant l'équation $X F_p^p = F_p - 1$. On peut remarquer que $F_p^p$ n'est pas défini si $\left[X^0\right] F_p \neq 1$. Cependant, même si l'on étendait la définition des puissances non entières aux séries de terme constant différent de $1$ tel que $\forall A \in \mathbb A[[X]], \; \forall p \in \mathbb A, \; A^p \in \mathbb A[[X]]$, l'équation $X F_p^p = F_p - 1$ implique que $F_p - 1$ est de terme constant nul, donc que $F_p$ a pour terme constant $1$. Le cas où l'inconnue est a pour terme constant $1$ est donc le seul cas où il est pertinent d'essayer de résoudre cette équation, et notre définition des puissances non entières est alors suffisante pour que l'équation ait du sens.
+\end{remark}
+
+\begin{theorem}
+	Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p \in \mathbb A$, $\Omega = \left\{A \in \mathbb A[[X]], \left[X^0\right]A = 1\right\}$. Alors l'équation
+	\begin{equation*}
+		X F_p^p = F_p - 1
+	\end{equation*}
+	d'inconnue $F_p$ admet une unique solution dans $\Omega$, et celle-ci s'exprime comme :
+	\begin{equation*}
+		F_p = 1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]}
+	\end{equation*}
+\end{theorem}
+
+\begin{definition}
+	Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p \in \mathbb A$, $\Omega = \left\{A \in \mathbb A[[X]], \left[X^0\right]A = 1\right\}$. On définit alors la suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$ comme les coefficients de l'unique solution de l'équation $X F_p^p = F_p - 1$ dans $\Omega$ :
+	\begin{equation*}
+		\sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n \coloneqq 1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]}
+	\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	Soient $p,r \in \mathbb N$. La suite de Raney de paramètres $(r, p)$ (aussi appelée suite de Fuss-Catalan à deux paramètres) est la suite d'entiers naturels définie ainsi :
+	\begin{equation*}
+		\forall n \in \mathbb N, \;
+		R^{(p,r)}_n \coloneqq  \sum_{
+			\begin{smallmatrix}
+				(i_1,\ldots,i_r) \in \mathbb N^r \\
+				i_1+\ldots+i_r = n
+			\end{smallmatrix}
+		} \prod_{j=1}^{r} C^{(p)}_{i_j}
+	\end{equation*}
+	avec $\left(C^{(p)}_n\right)_{n \in \mathbb N}$ la suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$. Ou autrement dit, si $F_p = \displaystyle \sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n$, alors
+	\begin{equation*}
+		\sum_{n \geq 0} R^{(p,r)}_n X^n \coloneqq F_p^r
+	\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Notons que si l'on prend $p$ dans un anneau binomial $\mathbb A$ quelconque, on a toujours $C^{(p)}_0 = 1$ comme terme constant pour $F_p$. Il est donc tout à fait possible d'élever $F_p$ à une puissance $r \in \mathbb A$ quelconque pour définir les suites de Raney généralisées.
+\end{remark}
+
+\begin{definition}
+	Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p,r \in \mathbb A$. On définit ainsi la suite de Raney de paramètres $(p,r)$ :
+	\begin{equation*}
+		\sum_{n \geq 0} R^{(p,r)}_n X^n \coloneqq \left(1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]}\right)^r
+	\end{equation*}
+\end{definition}
+
+\subsection{Identités}
+
+
+\section{Interprétation combinatoire générique des suites de Fuss-Catalan}
+
+\subsection{Définitions}
+
+
+
+
+
+\end{document}
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