diff --git a/main.tex b/main.tex new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..6d2ae4c59d534d54241cb01aa5e1dc77c0ccc93e --- /dev/null +++ b/main.tex @@ -0,0 +1,292 @@ +\documentclass[12pt, oneside, a4paper, titlepage]{article} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{cd} + +% the following block is for illustrations +\usetikzlibrary{arrows} +\definecolor{wwwwww}{rgb}{0.4,0.4,0.4} +\definecolor{fftttt}{rgb}{1,0.2,0.2} +\definecolor{qqqqzz}{rgb}{0,0,0.6} +\definecolor{qqzzqq}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{cqcqcq}{rgb}{0.75,0.75,0.75} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{fullpage} +\usepackage{enumitem} + + +\newcommand{\ldbk}{\left[\!\left[} +\newcommand{\rdbk}{\right]\!\right]} + +\newtheorem{theorem}{Théorème}[section] +\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme} +\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} +\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollaire} +\newtheorem{definition}[theorem]{Définition} +\newtheorem{example}[theorem]{Exemple} +\newtheorem{remark}{Remarque} + +\title{Coefficients binomiaux et suites de Raney généralisés dans des anneaux} +\author{Louis AUFFRET} +\date{\today} + + + + + +\begin{document} + +\maketitle +\tableofcontents +\pagebreak + + +\begin{abstract} + L'intérêt de cet article est : + \begin{itemize}[label=\textbullet] + \item de définir le minimum de structure à ajouter à un anneau $\mathbb A$ pour pouvoir définir convenablement les coefficients binomialux $\binom{\alpha}{n}$ avec $\alpha \in \mathbb A$ et $n \in \mathbb Z$, tels que la plupart des identités usuelles sur ceux-ci soit vérifiées + \item de définir des suites de Fuss-Catalan et de Raney généralisées, avec pour paramètres des éléments quelconques de l'anneau et non plus des entiers naturels + \item d'apporter une interprétation combinatoire générique des suites de Fuss-Catalan à paramètres entiers naturels. + \end{itemize} + Toutes les démonstrations données sont purement algébriques et n'ont pas recours à de l'analyse. +\end{abstract} + +\section{Notations et conventions} +Dans toute la suite, le terme ``anneau'' sous-entend ``unitaire'', tout sous-anneau de $\mathbb A$ doit contenir $1_{\mathbb A}$ et tout morphisme d'anneaux $\mathbb A_1 \longmapsto \mathbb A_2$ doit envoyer $1_{\mathbb A_1}$ sur $1_{\mathbb A_2}$. Les termes inventés dans le cadre de cet article (tels que \underline{anneau binomial}, cf. définition plus loin) seront soulignés. Si $\mathbb A$ est un anneau commutatif, $\mathbb A[[X]]$ désigne l'anneau des séries formelles dans $\mathbb A$. Si $A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n X^n$, alors $\left[X^n\right] A$ désigne le terme devant $X^n$, c'est-à -dire $a_n$. Le terme ``inverse'' désigne un inverse au sens de la multiplication, on parlera donc de série ``réverse'' pour désigner un inverse au sens de la composition. Pour une série $\mathbb A$, on notera $A^{[-1]}$ sa série réverse : $A \circ A^{[-1]} = A^{[-1]} \circ A = X$. + + +\section{\underline{Anneaux binomiaux}} +\subsection{Introduction} +Les coefficients binomiaux généralisés sont définis ainsi dans $\mathbb C$ : +\begin{equation*} + \forall z \in \mathbb C, \; + \forall n \in \mathbb Z, \; + \binom{z}{n} \coloneqq \left\{ + \begin{aligned} + &\frac{z^{\underline{n}}}{n!} + &\text{ si } n \geq 0 \\ + &0 + &\text{ sinon} + \end{aligned} + \right. +\end{equation*} +avec $\alpha^{\underline{n}} \coloneqq \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i\right)$ la factorielle descendante (si $n=0$, $\alpha^{\underline{n}}$ est un produit vide, donc égal à $1$). + +On peut alors constater que la raison pour laquelle cette définition a du sens est que $\mathbb C$ vérifie les deux propriétés suivantes : +\begin{itemize}[label=\textbullet] + \item $\mathbb Z \subset \mathbb C$ + \item $\forall n \in \mathbb N$, $n!$ possède un inverse dans $\mathbb C$ +\end{itemize} +L'objectif de cet article est la construction et l'étude de coefficients binomiaux dans un cadre plus général, où $z$ est un élément d'un anneau vérifiant certaines propriétés. + + +\subsection{Définition} + +\begin{definition} + Soit $\mathbb A$ un anneau et $\varphi$ l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb Z$ dans $\mathbb A$. Alors $\forall n \in \mathbb Z$, on note $n_{\mathbb A} \coloneqq \varphi(n) = n \cdot 1_{\mathbb A}$. +\end{definition} + +\begin{remark} + Soit $\mathbb A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ un anneau non réduit à zéro. Alors s'il existe $\Phi$ un morphisme d'anneaux de $\mathbb Q$ dans $\mathbb A$, celui-ci est unique (car entièrement déterminé par $\varphi : \mathbb Z \longrightarrow \mathbb A$), et il est injectif (car $\mathbb Q$ est un corps). De même, si $\mathbb A$ possède un sous-anneau isomorphe à $\mathbb Q$, celui-ci est unique car c'est l'image de $\Phi$. Dans toute la suite, on notera pour simplifier $\mathbb Q \subset \mathbb A$. +\end{remark} + +\begin{remark} + Soit $\mathbb A$ un anneau. Comme chaque factorielle est un produit d'entiers non nuls, et chaque entier non nul est un quotient de factorielles ou son opposé, les assertions suivantes sont équivalentes : + \begin{enumerate} + \item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et il existe un morphisme d'anneaux de $\mathbb Q$ dans $\mathbb A$ + \item $\mathbb A$ possède un sous-anneau isomorphe à $\mathbb Q$ + \item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et $\forall n \in \mathbb Z^\ast$, $n_{\mathbb A}$ possède un inverse dans $\mathbb A$ + \item $A \neq \left\{0_{\mathbb A}\right\}$ et $\forall n \in \mathbb N$, $\left(n!\right)_{\mathbb A}$ possède un inverse dans $\mathbb A$ + \end{enumerate} + Toutes ces propriétés se résument donc à $\mathbb Q \subset \mathbb A$. +\end{remark} + +\begin{definition}[\underline{Anneau binomial}] + On dira qu'un anneau $\mathbb A$ est un \underline{anneau binomial} s'il est commutatif et $\mathbb Q \subset \mathbb A$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Coefficients binomiaux] + Soit $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}. On définit alors les coefficient binomiaux généralisés ainsi : + \begin{equation*} + \forall \alpha \in \mathbb A, \; + \forall n \in \mathbb Z, \; + \binom{\alpha}{n} \coloneqq \left\{ + \begin{aligned} + &\frac{\alpha^{\underline{n}}}{n!} + &\text{ si } n \geq 0 \\ + &0 + &\text{ sinon} + \end{aligned} + \right. + \end{equation*} + Notons que l'on considère ici $\mathbb Q \subset \mathbb A$, donc $\frac{1}{n!} \coloneqq \left(n!\right)_{\mathbb A}^{-1}$ et $\alpha^{\underline{n}} = \displaystyle \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i\right) \coloneqq \prod_{i=0}^{n-1} \left(\alpha - i_{\mathbb A}\right)$ +\end{definition} + +\begin{remark} + Il n'est pas nécessaire que $\mathbb A$ soit commutatif pour que cette définition ait du sens, mais cette propriété s'avèrera bien trop utile pour ne pas l'inclure dans la définition d'un \underline{anneau binomial}. +\end{remark} + +\begin{example} + On considère $I$ l'identité de $\mathcal M_2 \left(\mathbb R\right)$ et $J = \begin{pmatrix} + 0 & 1 \\ + 0 & 0 + \end{pmatrix}$. + On a $J^2 = 0$, on peut montrer sans difficulté que $\mathrm{Vect}\left(I,J\right)$ est un sous-anneau commutatif de $\mathcal M_2 \left(\mathbb R\right)$ et que $\mathbb Q I = \left\{q I, q \in \mathbb Q\right\}$ est isomorphe à $\mathbb Q$. Donc $\mathrm{Vect}\left(I,J\right)$ est un anneau binomial. Notons que vu que $J^2 = 0$, un anneau binomial n'est pas nécessairement intègre. +\end{example} + + + +\subsection{Identités et séries formelles} + +\begin{definition} + Soient $\mathbb A$ un anneau binomial et $A = \displaystyle \sum_{n \geq 0} a_n X^n \in \mathbb A[[X]]$. Comme tous les entiers non nuls sont inversibles dans $\mathbb A$, on peut définir l'intégrale en $0$ de $A$ : + \begin{equation*} + \mathrm{Int}_0 \left(A\right) \coloneqq \sum_{n \geq 1} \frac{a_{n-1}}{n} X^n + \end{equation*} + et on vérifie immédiatement l'identité $\left(\mathrm{Int}_0 \left(A\right)\right)' = A$. +\end{definition} + +\begin{definition} + Soit $\mathbb A$ un anneau binomial. On peut alors poser + \begin{align*} + &\exp \coloneqq \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} X^n \in \mathbb A[[X]] \\ + &U \coloneqq \mathrm{Int}_0 \left(\left(1+X\right)^{-1}\right) \in \mathbb A[[X]] + \end{align*} + Notons que $\left(1+X\right)$ possède un inverse car son terme constant est inversible, que son inverse est $\displaystyle \sum_{n \geq 0} (-1)^n X^n$ et que $U = \displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} X^n$ est la série notée informellement $\ln \left(1+X\right)$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Puissances non entières de séries] + Soit $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}. On pose alors + \begin{equation*} + \forall \alpha \in \mathbb A, \; + \left(1+X\right)^\alpha \coloneqq + \exp \circ \left(\alpha U\right) + \end{equation*} + et pour toute série formelle $V \in \mathbb A[[X]]$ de terme constant égal à $1$, on pose + \begin{equation*} + \forall \alpha \in \mathbb A, \; + V^\alpha + \coloneqq \left(1+X\right)^\alpha \circ \left(V-1\right) + = \exp \circ \left(\alpha U\right) \circ \left(V-1\right) + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{proposition} + Cette notation étend (sans ambiguité de notation) les puissances entières de $\left(1+X\right)$ et de $V$, et + \begin{equation*} + \forall \alpha \in \mathbb A, \; + \left(1+X\right)^\alpha = \sum_{n \geq 0} \binom{\alpha}{n} X^n + \text{ et } + V^\alpha = \sum_{n \geq 0} \binom{\alpha}{n} \left(V-1\right)^n + \end{equation*} +\end{proposition} + +\begin{theorem}[Identités des puissances non entières] + Soient $\mathbb A$ un \underline{anneau binomial}, $V, W \in \mathbb A[[X]]$ de termes constants égaux à $1$, $\alpha, \beta \in \mathbb A$. On a alors : + \begin{enumerate} + \item $V^\alpha V^\beta = V^{\alpha+\beta}$ + \item $\left(V^\alpha\right)^\beta = V^{\alpha \beta}$ + \item $V^\alpha W^\alpha = \left(V W\right)^\alpha$ + \item $\left(V^\alpha\right)' = \alpha V' V^{\alpha-1}$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Formule de réversion de Lagrange-Bürmann] + +\end{theorem} + + +\section{Suites de Raney généralisées} +\subsection{Définitions} +Avant d'introduire les suites de Raney (2 paramètres), il est pertinent d'introduire les suites de Fuss-Catalan (1 paramètre). +\begin{definition}[Suites de Fuss-Catalan] + Soit $p \in \mathbb N$. La suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$ est la suite d'entiers naturels définie par récurrence ainsi : + \begin{equation*} + \left\{ + \begin{aligned} + &C^{(p)}_0 = 1 \\ + &\forall n \in \mathbb N, \; + C^{(p)}_{n+1} = \sum_{ + \begin{smallmatrix} + (i_1, \ldots, i_p) \in \mathbb N^p \\ + i_1+\ldots+i_p = n + \end{smallmatrix} + } \prod_{j=1}^{p} C^{(p)}_{i_j} + \end{aligned} + \right. + \end{equation*} + ou de manière équivalente, on peut définir $F_p = \displaystyle \sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n$ comme l'unique solution de l'équation + \begin{equation*} + X F_p^p = F_p - 1 + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{remark} + L'objectif est de définir des suites de Fuss-Catalan de paramètre $p \in \mathbb A$ avec $\mathbb A$ un anneau binomial, en utilisant l'équation $X F_p^p = F_p - 1$. On peut remarquer que $F_p^p$ n'est pas défini si $\left[X^0\right] F_p \neq 1$. Cependant, même si l'on étendait la définition des puissances non entières aux séries de terme constant différent de $1$ tel que $\forall A \in \mathbb A[[X]], \; \forall p \in \mathbb A, \; A^p \in \mathbb A[[X]]$, l'équation $X F_p^p = F_p - 1$ implique que $F_p - 1$ est de terme constant nul, donc que $F_p$ a pour terme constant $1$. Le cas où l'inconnue est a pour terme constant $1$ est donc le seul cas où il est pertinent d'essayer de résoudre cette équation, et notre définition des puissances non entières est alors suffisante pour que l'équation ait du sens. +\end{remark} + +\begin{theorem} + Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p \in \mathbb A$, $\Omega = \left\{A \in \mathbb A[[X]], \left[X^0\right]A = 1\right\}$. Alors l'équation + \begin{equation*} + X F_p^p = F_p - 1 + \end{equation*} + d'inconnue $F_p$ admet une unique solution dans $\Omega$, et celle-ci s'exprime comme : + \begin{equation*} + F_p = 1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]} + \end{equation*} +\end{theorem} + +\begin{definition} + Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p \in \mathbb A$, $\Omega = \left\{A \in \mathbb A[[X]], \left[X^0\right]A = 1\right\}$. On définit alors la suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$ comme les coefficients de l'unique solution de l'équation $X F_p^p = F_p - 1$ dans $\Omega$ : + \begin{equation*} + \sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n \coloneqq 1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]} + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{definition} + Soient $p,r \in \mathbb N$. La suite de Raney de paramètres $(r, p)$ (aussi appelée suite de Fuss-Catalan à deux paramètres) est la suite d'entiers naturels définie ainsi : + \begin{equation*} + \forall n \in \mathbb N, \; + R^{(p,r)}_n \coloneqq \sum_{ + \begin{smallmatrix} + (i_1,\ldots,i_r) \in \mathbb N^r \\ + i_1+\ldots+i_r = n + \end{smallmatrix} + } \prod_{j=1}^{r} C^{(p)}_{i_j} + \end{equation*} + avec $\left(C^{(p)}_n\right)_{n \in \mathbb N}$ la suite de Fuss-Catalan de paramètre $p$. Ou autrement dit, si $F_p = \displaystyle \sum_{n \geq 0} C^{(p)}_n X^n$, alors + \begin{equation*} + \sum_{n \geq 0} R^{(p,r)}_n X^n \coloneqq F_p^r + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{remark} + Notons que si l'on prend $p$ dans un anneau binomial $\mathbb A$ quelconque, on a toujours $C^{(p)}_0 = 1$ comme terme constant pour $F_p$. Il est donc tout à fait possible d'élever $F_p$ à une puissance $r \in \mathbb A$ quelconque pour définir les suites de Raney généralisées. +\end{remark} + +\begin{definition} + Soient $\mathbb A$ un anneau binomial, $p,r \in \mathbb A$. On définit ainsi la suite de Raney de paramètres $(p,r)$ : + \begin{equation*} + \sum_{n \geq 0} R^{(p,r)}_n X^n \coloneqq \left(1+\left(X \left(1+X\right)^{-p}\right)^{[-1]}\right)^r + \end{equation*} +\end{definition} + +\subsection{Identités} + + +\section{Interprétation combinatoire générique des suites de Fuss-Catalan} + +\subsection{Définitions} + + + + + +\end{document} \ No newline at end of file